Gelioxis.ru
Натуральные числа и действия над ними Устная нумерация Натуральные числа Арифметические действия Сложение натуральных чисел Законы сложения Свойства сложения Сложение столбиком Вычитание натуральных чисел Свойства вычитания Умножение Законы умножения Деление Признаки делимости чисел Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Проверка арифметических действий Проверка сложения и вычитания Изменение результатов действий Изменение суммы Изменение разности Системы счисления Римская система счисления Общие делители и кратные Наибольший общий делитель Как найти НОД Наименьшее общее кратное

Изменение суммы с изменением слагаемых

Рассмотрим, как изменяется сумма при изменении слагаемых.

Увеличение слагаемых

Так как сумма содержит в себе все единицы слагаемых, то очевидно, что:

Если какое-либо слагаемое увеличить на одну или более единиц, то сумма увеличится на столько же единиц.

Запишем данное свойство суммы в общем виде: если

a + b = c,

то

(a + m) + b = c + m
или
a + (b + m) = c + m.

Пример.

Возьмём сумму двух слагаемых: 3 + 2 = 5 и посмотрим, как она изменится, если мы увеличим одно из слагаемых, а другое оставим без изменения. Так, если к первому слагаемому прибавить 3 единицы, то получится:

(3 + 3) + 2 = 6 + 2 = 8.

Сумма слагаемых увеличилась на столько же единиц, на сколько мы увеличили первое слагаемое.

Если прибавить 3 ко второму слагаемому, а первое оставить без изменения, то получится:

3 + (2 + 3) = 3 + 5 = 8.

Сумма слагаемых увеличилась на столько же единиц, на сколько мы увеличили второе слагаемое.

Следовательно, когда какое-либо слагаемое увеличивается на одну или более единиц, то и сумма соответственно увеличивается на столько же единиц.

Уменьшение слагаемых

Так как сумма содержит в себе все единицы слагаемых, то очевидно, что:

Если какое-либо слагаемое уменьшить на одну или более единиц, то сумма уменьшится на столько же единиц.

Запишем данное свойство суммы в общем виде: если

a + b = c,

то

(a - m) + b = c - m
или
a + (b - m) = c - m.

Пример.

Возьмём сумму двух слагаемых: 5 + 4 = 9 и посмотрим, как она изменится, если мы уменьшим одно из слагаемых, а другое оставим без изменения. Так, если от первого слагаемого отнять 3 единицы, то получится:

(5 - 3) + 4 = 2 + 4 = 6.

Сумма слагаемых уменьшилась на столько же единиц, на сколько мы уменьшили первое слагаемое.

Если отнять 3 от второго слагаемого, а первое оставить без изменения, то получится:

5 + (4 - 3) = 5 + 1 = 6.

Сумма слагаемых уменьшилась на столько же единиц, на сколько мы уменьшили второе слагаемое.

Следовательно, когда какое-либо слагаемое уменьшается на одну или более единиц, то и сумма соответственно уменьшается на столько же единиц.

Увеличение одного и уменьшение другого слагаемого

Так как сумма содержит в себе все единицы слагаемых, то очевидно, что:

Если к одному слагаемому прибавить одну или более единиц, а от другого слагаемого столько же единиц отнять, то сумма не изменится.

В общем виде: если

a + b = c,

то

(a + m) + (b - m) = c
или
(a - m) + (b + m) = c.

Пример.

Возьмём сумму двух слагаемых: 6 + 4 = 10 и посмотрим, что получится, если мы одно слагаемое увеличим, а другое — уменьшим, на столько же единиц. Так, если к первому слагаемому прибавить 3 единицы, а от второго столько же единиц отнять, то получится:

(6 + 3) + (4 - 3) = 9 + 1 = 10.

Теперь уменьшим первое слагаемое, а второе — увеличим:

(6 - 3) + (4 + 3) = 3 + 7 = 10.

Сумма не изменилась, так как общее количество единиц не изменилось.

Следовательно, если одно слагаемое увеличить на одну или более единиц, а другое уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Приём округления при сложении

На изложенных выше свойствах суммы основан приём округления при сложении, который можно использовать для облегчения сложения.

Пример.

Пусть требуется сложить 58 и 47. Искомую сумму можно легко найти, если первое слагаемое округлить до 60 (увеличив его на 2 единицы), а из второго слагаемого отнять 2 единицы — сумма от этого не изменится:

(58 + 2) + (47 - 2) = 60 + 45 = 105.

Можно рассуждать и так: увеличим слагаемое 58 до 60, т. е. прибавим к нему 2 единицы; числа 60 и 47 сложить легче, чем данные, так как с круглым числом складывать легче. Получившаяся сумма (107) больше искомой на столько, сколько мы прибавили к слагаемому (58), т. е. на 2 единицы. Значит, если мы от изменённой суммы отнимем прибавленные 2 единицы, то у нас получится искомая сумма двух слагаемых: 58 и 47, т. е. 105.

Данным приёмом обычно пользуются при устных вычислениях.