Gelioxis.ru
Натуральные числа и действия над ними Устная нумерация Натуральные числа Арифметические действия Сложение натуральных чисел Законы сложения Свойства сложения Сложение столбиком Вычитание натуральных чисел Свойства вычитания Умножение Законы умножения Деление Признаки делимости чисел Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Проверка арифметических действий Проверка сложения и вычитания Изменение результатов действий Изменение суммы Изменение разности Системы счисления Римская система счисления Общие делители и кратные Наибольший общий делитель Как найти НОД Наименьшее общее кратное

Разложение числа на простые множители

Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.

Простые множители

Любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей.

Пример.

Представим в виде произведения простых множителей числа 6 и 12:

6 = 2 · 3

12 = 2 · 2 · 3

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.

Пример.

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3

Примечание. Для удобства простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Метод разложения составного числа на простые множители:

  1. Ищем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное составное число делится без остатка. Для этого, последовательно берём простые числа из таблицы простых чисел (2, 3, 5, 7 и т. д.) и делим на них данное число. Первое простое число, на которое данное число разделится нацело, и будет его самым маленьким простым делителем.
  2. Ищем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится без остатка и выполняем деление.
  3. Выполнение второго пункта повторяется до тех пор, пока в частном не получится единица.
  4. Записываем найденные простые делители в виде произведения простых множителей и тем самым получаем разложение числа на простые множители.

Примечание. Перед тем как начать перебирать простые делители, желательно проверять по таблице простых чисел, не является ли данное число простым. Это может сэкономить не мало времени.

Пример.

Разложите число 495 на простые множители.

Решение. Нам нужно найти самый маленький простой делитель, на который число 495 разделится без остатка. Для этого мы будем последовательно брать простые числа из таблицы простых чисел (2, 3, 5 и т. д.) и пробовать делить на них данное число.

Сначала берём в качестве делителя число 2, получаем:

495 : 2 = 247 (остаток 1).

Так как, при делении у нас получился остаток, значит 2 — не является делителем числа 495. Переходим к следующему простому числу из таблицы простых чисел, это число 3. Делим 495 на 3, получаем:

495 : 3 = 165.

Число 495 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является первым найденным простым делителем числа 495.

Теперь, точно таким же образом, ищем наименьший простой делитель для полученного частного, т. е. для числа 165. Таким делителем является опять число 3:

165 : 3 = 55.

Ищем наименьший простой делитель для 55. Это будет число 5:

55 : 5 = 11.

Число 11 простое, значит наименьшим простым числом, на которое делится 11, будет само это число:

11 : 11 = 1.

Осталось записать найденные простые делители в виде произведения простых множителей. Таким образом, разложение числа 495 на простые множители имеет вид:

495 = 3 · 3 · 5 · 11 = 32 · 5 · 11.

Ответ: 495 = 3 · 3 · 5 · 11 = 32 · 5 · 11.

Для удобства весь процесс разложения числа на простые множители записывают столбиком в две колонки, разделённых вертикальной чертой. Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, под ним получающиеся частные, а справа от черты — найденные в процесе разложения наименьшие простые делители.

Пример.

Разложить на простые множители число 126.

Решение. Записываем число 126 и справа от него проводим вертикальную черту:

126
 

Находим самый маленький простой делитель, на который число 126 разделится без остатка, и записываем его справа от черты, напротив числа 126:

126 2
 

Выполняем деление и получившееся частное записываем под делимым:

126 2
63
 

Находим наименьший простой делитель для числа 63, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем, а под числом 63 записываем получившееся частное:

126 2
63 3
21
 

Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

126 2
63 3
21 3
7 7
1

Записываем найденные простые делители в виде произведения простых множителей и тем самым получаем разложение числа на простые множители:

126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7.

Ответ: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число 12 разложилось на две двойки и одну тройку, то оно всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с самых малых простых множителей или с более больших.