Gelioxis.ru
Натуральные числа и действия над ними Устная нумерация Натуральные числа Арифметические действия Сложение натуральных чисел Законы сложения Свойства сложения Сложение столбиком Вычитание натуральных чисел Свойства вычитания Умножение Законы умножения Деление Признаки делимости чисел Простые и составные числа Разложение числа на простые множители Проверка арифметических действий Проверка сложения и вычитания Изменение результатов действий Изменение суммы Изменение разности Системы счисления Римская система счисления Общие делители и кратные Наибольший общий делитель Как найти НОД Наименьшее общее кратное

Законы сложения

Действие сложения обладает двумя свойствами: переместительным и сочетательным законами сложения.

Переместительный закон сложения

От перемены мест слагаемых сумма не изменяется.

Переместительный закон сложения в общем виде:

a + b = b + a,

где a и b — любые натуральные числа.

Пример.

Возьмём два числа, например 2 и 3. Вычислим их сумму двумя способами. Мы можем взять сначала число 2 и последовательно присчитать к нему все единицы числа 3. В результате получим число 5:

2 + 3 = 5.

Либо мы можем взять сначала число 3 и присчитать к нему все единицы числа 2. В результате мы снова получим число 5:

3 + 2 = 5.

Так как число единиц, заключающихся в каждом слагаемом, не изменяется при их перестановке, то и число единиц, заключающихся в сумме, тоже не изменяется.

Таким образом, между выражениями 2 + 3 и 3 + 2 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

2 + 3 = 3 + 2 = 5.

То же самое будет, если в качестве слагаемых взять какие угодно другие натуральные числа.

Сочетательный закон сложения

Сумма не изменится, если какую-либо группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Сочетательный закон сложения в общем виде:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c),

где a, b и c — любые натуральные числа.

Пример.

Возьмём сумму трёх чисел:

1 + 2 + 3.

Эту сумму можно вычислить двумя способами. Для указания порядка сложения будем использовать скобки. Мы можем сначала найти сумму двух первых слагаемых и прибавить к ней оставшееся третье число:

1 + 2 + 3 = (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6.

Либо мы можем сначала найти сумму второго и третьего слагаемых и прибавить её к первому числу:

1 + 2 + 3 = 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6.

Итак, мы видим, что сумма не зависит от последовательности выполнения сложения. Мы соединяли в группу (заключали в скобки) по два слагаемых, находили их сумму и затем складывали её с третьим слагаемым. В обоих случаях получился один и тот же результат. Это означает, что слагаемые можно как угодно группировать для удобства вычислений.

Таким образом, между выражениями (1 + 2) + 3 и 1 + (2 + 3) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6.

То же самое будет, если в качестве слагаемых взять какие угодно другие натуральные числа.