Gelioxis.ru
Свойства степени с натуральным показателем Множество Пересечение и объединение множеств Взаимно однозначное соответствие Постоянные и переменные величины

Множество

Понятие множество является одним из фундаментальных понятий математики. Следовательно, множество — понятие неопределяемое, т. е. ему нельзя дать строгого определения. Поэтому вместо того, чтобы дать определение понятию множества, мы проиллюстрируем его на примерах.

Множество можно представить себе как совокупность или группу некоторых объектов, объединённых по какому-то общему признаку. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане и т. д.

Таким образом, в математике любую группу объектов можно назвать множеством.

Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами.

Множество и элементы множества

На рисунке изображено два множества: множество однозначных чисел и множество геометрических фигур. Число 7 — элемент множества однозначных чисел, а треугольник — элемент множества геометрических фигур.

Множества будем обозначать прописными буквами латинского или греческого алфавита, а их элементы — строчными. Для того чтобы указать, что данное множество A состоит из элементов x, y, ..., z, обычно пишут

A = {x, y, ..., z}.

Фигурные скобки в обозначении множества показывают, что элементы объединены в одно целое — множество A.

Например, множество дней недели состоит из элементов {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

Для того чтобы записать, что x является элементом множества A, используется знак ∈ (принадлежность к множеству). Он ставится между элементом и множеством. Слева от знака принадлежности записывается элемент, а справа — множество: x ∈ A (читается: x принадлежит множеству A или x является элементом множества A). Чтобы записать, что x не является элементом множества A, используется знак ∉ (непринадлежность к множеству): x ∉ A (читается: x не принадлежит множеству A или x не является элементом множества A).

Например, если A означает множество всех чётных натуральных чисел, то 8 ∈ A, а 3 ∉ A.

Таким образом, когда мы говорим о множестве, то объединяем некоторые предметы в одно целое, а именно в множество, элементами которого они являются.

Множество, которое не содержит элементов, называют пустым множеством и обозначают символом ∅ или просто парой фигурных скобок {}.

Примерами пустых множеств могут служить множество лошадей, пасущихся на Луне, множество десятиногих млекопитающих.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нём бесконечно много элементов, то бесконечным. Так, множество деревьев в лесу конечное, а множество натуральных чисел бесконечное.

Множество натуральных чисел обозначают N.

Подмножество

Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы, принадлежащие A, также принадлежат B.

Для примера рассмотрим два множества:

M = {2, 4, 6, 8, 10}   и   K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Первое множество — чётные числа первых десяти натуральных чисел, второе — множество первых десяти натуральных чисел.

Представим эти два множества с помощью кругов Эйлера так:

Множество и подмножество

Из рисунка видно, что каждый элемент множества M принадлежит также и множеству K, значит, множество M является подмножеством множества K.

Для того чтобы записать, что M является подмножеством множества K, используется знак ⊂ (является подмножеством). Он ставится между подмножеством и множеством. Слева от знака записывается подмножество, а справа — множество: M ⊂ K (читается: множество M является подмножеством множества K).

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит множеству B (т. е. A ⊂ B) и, наоборот, каждый элемент множества B принадлежит множеству A (т. е. B ⊂ A). Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов.

Рассмотрим два множества:

M = {2, 4, 6, 8, 10}   и   K = {6, 2, 4, 10, 8}.

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то M = K.